[ 이코테 강의 ] 최단 경로 알고리즘

최단 경로 문제

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미
• 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점가지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상작동
  • 형실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다
  • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정 반복

동작 과정

1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신
5. 3-4번 반복

• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 가장 짧은 경로야' 하고 갱신한다

다익스트라 알고리즘의 특징

• 그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택
• 단계를 거치며 한 번 처리된 최단 거리는 더 이상 바뀌지 않는다
  • 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는다
• 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 하긴 하지만 일반 코테에서는 잘 안나온다

우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 이용할 수 있다
• 대부분의 프로그래래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원된다

자료구조	추출되는 데이터
스택	가장 나중에 삽입된 데이터
큐	가장 먼저 삽입된 데이터
우선순위 큐	가장 우선순위가 높은 데이터

힙(Heap)

• 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나
• 최소 힙과 최대 힙이 있다
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙	O(logN)	O(logN)

다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조 이용
• 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용하기만 할 뿐
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용
• 힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문 while은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼는 연산과 매우 유사
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 표현할 수 있다
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있음.
    • O(ElogE) => O(ElogV^2) => O(2ElogV) => O(ElogV)
    • 노드의 개수가 10000개 이상이어도 대게 1초 안으로 구현 가능

플로이드 워셜 알고리즘 개요

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산
• 플로이드 워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다
• 플로이드 워셜은 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장
• 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다
• 시간복잡도는 O(N^3).. 그냥 다익스트라 쓰자..
• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다
  • a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사
• 점화식 Dab = min(Dab,Dak+Dkb)

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행
  • 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려
• 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N^3)

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(이코테 2021 강의 몰아보기) 7. 최단 경로 알고리즘